Une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3 - Corrigé

Énoncé

1. Calculer \(4n+3\) pour \(n\) compris entre \(0\) et \(20\) .

On veut montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme \(4n+3\) , c'est-à-dire une infinité de nombres premiers congrus à \(3\) modulo \(4\) .

Pour cela, on raisonne par l'absurde, et on suppose qu'il en existe un nombre fini :
\(3 où les  \(p_i\)  sont des    nombres premiers congrus à \(3\) modulo \(4\) .

On pose  \(N=4p_1p_2...p_k+3\) .

2. Soit \(q\) un nombre premier divisant \(N\) .
    a. Montrer que \(q\) est impair. En déduire les entiers possibles congrus à \(q\) modulo \(4\) .
    b. Montrer que \(q \equiv 1 \ [4]\) .

3. En étudiant les congruences de \(N\) modulo \(4\) , aboutir à une contradiction et conclure.

Solution

1.
\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\ \hline 3&7&11&15&19&23&27&31&35&39&43&47&51&55&59&63&67&71&75&79&83\\ \hline\end{array}\end{align*}\)

2. a. Raisonnons par l'absurde, et supposons que \(q\) est pair.
Alors \(2\) divise \(q\) . Or \(q\) divise \(N\) , donc \(2\) divise \(N\) , ce qui est absurde car \(N \equiv 3 \equiv 1 \ [2]\) .
Ainsi, \(q\) est impair. On en déduit que \(q \equiv 1 \ [4]\) ou \(q \equiv 3 \ [4]\) .

    b. Raisonnons par l'absurde, et supposons que \(q \equiv 3 \ [4]\) . Comme \(q\) est un nombre premier congru à \(3\) modulo \(4\) , et que les tels nombres premiers sont en nombre fini, on en déduit que soit \(q=3\) , soit \(q\) est l'un des \(p_i\) (avec \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) ).

• Si \(q=3\) , alors \(3\) divise \(N\) , ce qui est manifestement faux, car \(3\) ne divise pas \(4p_1p_2...p_k\) .
• Si \(q=p_i>3\) avec \(i \in \left\lbrace 1;...;k \right\rbrace\) , alors comme \(q\) divise \(N\) , on en déduit que \(q\) divise \(N-4p_1p_2...p_k=3\) , ce qui est également impossible, car \(q>3\) .

Finalement, on conclut que \(q \equiv 1 \ [4]\) .

3. D'une part, par définition de \(N\) , on a \(N \equiv 3 \ [4]\) . 
D'autre part, d'après la question 2, tout diviseur premier de \(N\) est congru à \(1\) modulo \(4\) . Par conséquent, comme \(N\) s'écrit comme produit de facteurs premiers tous congrus à \(1\) modulo \(4\) , on en déduit que \(N \equiv 1 \ [4]\) .
C'est une contradiction, car \(3 \not\equiv 1 \ [4]\) .
Finalement, il existe donc une infinité de nombres premiers de la forme \(4n+3\) avec \(n \in \mathbb{N}\) .